解题妙招

原理

原理是：$ab\times 11=ab\times (10+1)=10\times ab+ab=(10a+b)\times 10+(10a+b)$，合并后中间正好多出 $a+b$。当 $a+b\ge 10$ 时要进位，例如 $78\times 11=7(7+8)8=7158\to 858$。

原理

$(10a+5{)}^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25$，所以后半固定是 25，前半是 $a(a+1)$。

原理

展开 $(10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab=10(10+a+b)+ab$，所以“十位加另一尾数”得到前两位，尾积补在后。注意尾积满十要进位。

原理

$(10a+b)(10a+c)=100a^2+10a(b+c)+bc$，因 $b+c=10$，得 $100a^2+100a+bc=100a(a+1)+bc$。

原理

因为 $5=\frac{10}{2}$，$25=\frac{100}{4}$，$125=\frac{1000}{8}$，把乘法变成“先凑整再除一个小数”更易口算。

原理

乘法分配律：$n\times 9=n\times (10-1)=10n-n$。

原理

加法的恒等变形：给一个数加 x，另一个数减 x，和不变。选 x 让其中一个数变成整十整百。

原理

乘法分配律 $a(b+c)=ab+ac$ 的逆用，是代数化简与巧算的核心。

原理

把每个数写成“基准 + 偏差”，偏差通常很小，求和时正负相消，大幅降低运算量。

原理

减法可看作“加一个负数”，加法满足交换律，所以可以带着符号整体移动。

原理

任何整数都可写成 $10k+d$，而 10 同时是 2 和 5 的倍数，所以整除性只取决于个位 $d$。

原理

因为 $10\equiv 1(\mathrm{mod}9)$，所以 $10^k\equiv 1$，任意数模 9 等于其各位数字之和模 9（即弃九法原理）。

原理

100 是 4 的倍数、1000 是 8 的倍数，故高位部分必然被 4/8 整除，只需看末二/末三位。

原理

若 $m,n$ 互质，则 $mn\mid a⟺m\mid a$ 且 $n\mid a$。2 与 3 互质，故用 2、3 的规则合并即可。

原理

若原数 $10a+d$ 能被 7 整除，则 $a-2d$ 也能（因为 $10a+d-10(a-2d)=21d$ 是 7 的倍数）。反复消去个位即可。

原理

因为 $10\equiv -1(\mathrm{mod}11)$，所以 $10^k\equiv (-1{)}^k$，奇数位与偶数位符号相反，故用奇偶位之差判断。

原理

任何数模 9 等于其数字根（去掉 9 的倍数）。所以等式两边模 9 必须相等。注意：弃九法只能发现错误，不能证明一定正确（可能同余错）。

原理

运算与其逆运算互为反函数，结果正确时反向操作必能还原原操作数。

原理

乘积的末位只由原两数末位决定；量级由最高位近似值决定。先框范围能立刻识破明显错误。

原理

对任意四位不全相同的数，Kaprekar 变换 $\max -\min$ 的轨道必然进入 6174（且 7641-1467=6174 自循环），最多 7 步。

原理

三位数版本的 Kaprekar 变换轨道必进入 495（954-459=495 自循环），最多 6 步。

原理

设 $a>c$，则 $abc-cba=99(a-c)$，其值为 99 的倍数且是三位数；反转后与它相加恒等于 1089（可代数证明）。

原理

当 1 的个数不超过 9 时，平方结果是从 1 递增到该个数再递减回 1 的对称数（与十进制位值累加有关）。