公式 · 速查手册

公式大全

一份按数学分支整理的常用公式手册。用 $a^2+b^2=c^2$ 这样的高清排版呈现，支持实时搜索、分类筛选、收藏、复制 LaTeX，带变量的公式还能代入数值即时算，并可将整套公式打印成速查表。

80条公式

11大分类

29可代入计算

代数与整式

8 条

平方差公式

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

两数之和与两数之差的乘积，等于两数平方差。常用于因式分解与简便计算。

平方差因式分解整式

完全平方公式

(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2

首平方、尾平方、首尾两倍中间放。注意中间项的符号。

完全平方配方整式

立方和公式

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

立方和因式分解

立方差公式

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

立方差因式分解

三数和平方

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

三数和完全平方

幂的运算法则

a^m\cdot a^n=a^{m+n},\ (a^m)^n=a^{mn},\ (ab)^n=a^n b^n

同底数幂相乘指数相加；幂的乘方指数相乘；积的乘方各因式分别乘方。

幂指数运算运算法则

对数运算法则

\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N,\ \log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N,\ \log_a M^n=n\log_a M

积的对数等于对数和；商的对数等于对数差；幂的对数等于指数乘对数。

对数运算法则

换底公式

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

任意底数对数可化为同底（通常取自然对数或常用对数）计算。

对数换底

方程与不等式

6 条

一元二次方程求根公式

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

前提 $a\neq0$ 。当 $\Delta\ge0$ 时有两个实根； $\Delta<0$ 时无实根。

求根公式一元二次方程二次方程

代入计算

a b c

判别式

\Delta=b^2-4ac

$\Delta>0$ 两不等实根； $\Delta=0$ 两相等实根； $\Delta<0$ 无实根。

判别式根的情况二次方程

代入计算

a b c

韦达定理

x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}

不解方程而知两根之和与积，常用于求对称式。须满足 $a\neq0$ 且 $\Delta\ge0$ 。

韦达定理根与系数二次方程

根与系数对称式

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

对称式均可用两根之和、两根之积表示，例如平方和、倒数和。

对称式韦达定理

基本不等式

\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\quad(a,b>0)

两正数算术平均不小于几何平均，当且仅当 $a=b$ 取等号。常用于求最值。

均值不等式最值

绝对值三角不等式

|a|-|b|\le|a\pm b|\le|a|+|b|

绝对值三角不等式

平面几何

13 条

勾股定理

a^2+b^2=c^2

直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。已知两边可求第三边。

勾股定理直角三角形斜边

代入计算

直角边 a 直角边 b

三角形面积（底×高）

S=\frac{1}{2}ah

底乘高的一半。已知底与对应高时最直接。

三角形面积底高

代入计算

底 a 高 h

三角形面积（两边夹角）

S=\frac{1}{2}ab\sin C

已知两边及其夹角时用。角度 $C$ 以「度」输入。

三角形面积两边夹角正弦

代入计算

边 a 边 b 夹角 C (°)

正弦定理

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

三角形边长与对角正弦成正比，比例等于外接圆直径。常用于已知两角一边求边。

正弦定理解三角形

余弦定理

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

已知两边及夹角求第三边，或已知三边求角。勾股定理的一般化。

余弦定理解三角形

平行四边形面积

S=ah

底乘高。

平行四边形面积

代入计算

底 a 高 h

梯形面积

S=\frac{1}{2}(a+b)h

上底加下底之和乘高除以二。

梯形面积

代入计算

上底 a 下底 b 高 h

圆的周长

C=2\pi r

圆周长周长π

代入计算

半径 r

圆的面积

S=\pi r^2

圆面积面积π

代入计算

半径 r

扇形弧长

l=\frac{n\pi r}{180}=\alpha r

$n$ 为圆心角度数， $\alpha$ 为弧度。角度以「度」输入。

扇形弧长

代入计算

半径 r 圆心角 n (°)

扇形面积

S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}lr

$n$ 为圆心角度数。角度以「度」输入。

扇形面积

代入计算

半径 r 圆心角 n (°)

两点间距离

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

平面直角坐标系中两点距离公式。

两点距离坐标系距离

代入计算

x₁ y₁ x₂ y₂

线段中点坐标

M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

中点坐标

立体几何

7 条

长方体体积

V=abc

长方体体积

代入计算

长 a 宽 b 高 c

正方体表面积

S=6a^2

正方体表面积

代入计算

棱长 a

圆柱体积

V=\pi r^2 h

圆柱体积

代入计算

底面半径 r 高 h

圆锥体积

V=\frac{1}{3}\pi r^2 h

圆锥体积

代入计算

底面半径 r 高 h

球表面积

S=4\pi r^2

球表面积

代入计算

半径 r

球体积

V=\frac{4}{3}\pi r^3

球体积

代入计算

半径 r

棱锥体积

V=\frac{1}{3}Sh

底面积乘高除以三，也适用于圆锥。

棱锥体积

代入计算

底面积 S 高 h

三角函数

7 条

同角三角函数关系

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\quad \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

平方关系与商数关系是恒等变形的基础。

同角关系平方关系诱导

诱导公式

\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha

“奇变偶不变，符号看象限”。常用 $\pi\pm\alpha$ 、 $\frac{\pi}{2}\pm\alpha$ 等。

诱导公式三角函数

正弦和角公式

\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta

和角公式正弦

余弦和角公式

\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

和角公式余弦

二倍角公式

\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha

余弦二倍角另有 $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$ 。

二倍角三角函数

正切和角公式

\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}

正切和角公式

辅助角公式

a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)

将同角正弦余弦线性组合化为一个三角函数。 $\varphi$ 由 $\tan\varphi=b/a$ 确定。

辅助角化一

代入计算

a b

数列

6 条

等差数列通项

a_n=a_1+(n-1)d

首项加（项数减一）倍公差。

等差数列通项公式

代入计算

首项 a₁ 公差 d 项数 n

等差数列求和

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d

首末项平均乘项数，或首项乘项数加公差组合。

等差数列求和前n项和

代入计算

首项 a₁ 末项 aₙ 项数 n

等比数列通项

a_n=a_1 q^{n-1}

首项乘公比的（项数减一）次方。

等比数列通项公式

代入计算

首项 a₁ 公比 q 项数 n

等比数列求和

S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\quad(q\neq1)

公比 $q=1$ 时 $S_n=na_1$ 。

等比数列求和前n项和

代入计算

首项 a₁ 公比 q 项数 n

等差中项

A=\frac{a+b}{2}

等差中项中项

等比中项

G=\pm\sqrt{ab}

同号两数才有实数等比中项。

等比中项中项

初等函数

4 条

指数运算法则

a^{m+n}=a^m a^n,\ (a^m)^n=a^{mn},\ (ab)^n=a^n b^n

指数运算法则

对数恒等式

a^{\log_a x}=x,\quad \log_a a^x=x

指数与对数互为反函数。

对数恒等式反函数

反函数

f(f^{-1}(x))=x

互为反函数的两个函数图像关于直线 $y=x$ 对称。

反函数对称

函数平移

y=f(x+a)\ \text{左移}\ a,\quad y=f(x)+b\ \text{上移}\ b

左加右减、上加下减。

平移图像变换

微积分

5 条

基本导数公式

(x^n)'=nx^{n-1},\ (\sin x)'=\cos x,\ (e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=\frac{1}{x}

幂、三角、指数、对数函数的导数。

导数基本公式微积分

求导四则运算

(uv)'=u'v+uv',\ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

导数四则运算求导法则

复合函数求导

\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)

链式法则：由外向内逐层求导相乘。

链式法则复合函数导数

基本积分公式

\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\ \int e^x dx=e^x+C,\ \int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C

求导的逆运算，注意加积分常数 $C$ 。

积分不定积分微积分

牛顿-莱布尼茨公式

\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

定积分等于原函数在上、下限函数值之差。

定积分牛顿莱布尼茨

概率统计

10 条

古典概型

P(A)=\frac{m}{n}

等可能试验中，事件包含的基本事件数 $m$ 除以总事件数 $n$ 。

古典概型概率

概率加法公式

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)

两事件并集的概率，避免交集被重复计算。

加法公式概率

条件概率

P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}

条件概率

乘法公式

P(AB)=P(A)P(B|A)

乘法公式概率

独立事件

P(AB)=P(A)P(B)

两事件独立时，交的概率等于概率之积。

独立事件概率

二项分布

P(X=k)=C_n^k\, p^k(1-p)^{n-k}

$n$ 次独立重复试验、每次成功概率 $p$ 时，恰有 $k$ 次成功的概率。

二项分布概率组合数

代入计算

试验次数 n 成功次数 k 成功概率 p

数学期望

E(X)=\sum x_i p_i

随机变量取值以其概率为权的加权平均（离散型）。

期望数学期望

方差

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

方差刻画离散程度，也常用 $D(X)=E[(X-E(X))^2]$ 。

方差统计

平均数

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i

平均数均值统计

标准差

s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}

方差的算术平方根，与数据同量纲。

标准差统计

向量与矩阵

7 条

向量加减

\vec{a}\pm\vec{b}=(x_1\pm x_2,\ y_1\pm y_2)

向量加减坐标运算

向量数乘

\lambda\vec{a}=(\lambda x,\ \lambda y)

向量数乘数乘

向量数量积（点积）

\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

坐标法或模长夹角法。点积为 0 则两向量垂直。

点积数量积向量

代入计算

a_x a_y b_x b_y

向量模长

|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}

向量模模长

代入计算

x y

向量夹角余弦

\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

向量夹角余弦

平行与垂直条件

\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0;\ \vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0

平行垂直向量

二阶行列式

\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc

主对角线乘积减副对角线乘积。

行列式二阶行列式展开

代入计算

a b c d

复数

7 条

复数相等

a+bi=c+di\Leftrightarrow a=c,\ b=d

复数相等复数

复数加减

(a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i

复数加减

复数乘法

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

复数乘法

共轭复数

\overline{a+bi}=a-bi

共轭复数

复数的模

|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}

复平面上到原点的距离。

复数模模

代入计算

实部 a 虚部 b

复数除法

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i

分子分母同乘分母的共轭，化为实部加虚部形式。

复数除法

棣莫弗定理

(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

用于计算复数的整数次幂。

棣莫弗复数幂

没有找到匹配的公式

常见问题

勾股定理的公式是什么？

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即

a^2+b^2=c^2

。已知任意两边可用

c=\sqrt{a^2+b^2}

求第三边。

常见的三角形面积公式有哪些？

已知底与高：

S=\frac12 ah

；已知两边及其夹角：

S=\frac12 ab\sin C

；已知三边可用海伦公式。本页「平面几何」分类下均可代入数值直接计算。

一元二次方程的求根公式是什么？

对

ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)

，根为

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

，其中

\Delta=b^2-4ac

决定根的情况。

等差数列与等比数列的求和公式？

等差数列：

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

；等比数列（

q\neq1

）：

S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}

。本页「数列」分类支持代入

a_1,d,q,n

直接计算。

扇形面积和弧长怎么算？

圆心角

n

（度）时，弧长

l=\frac{n\pi r}{180}

，面积

S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac12 lr

。

向量数量积（点积）公式是什么？

坐标形式

\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2

，也等于

|\vec a||\vec b|\cos\theta

。点积为 0 表示两向量垂直。

想系统提升解题能力？看看解题技巧，或用函数绘图把公式画出来。